曲面面积积分

$$dS=\sqrt{1+z{{}^{\prime }}_1^2+z{{}^{\prime }}_2^2}dxdy$$

估计只有连续函数能这么算了，毕竟用平面来估计肯定得是可微的

平面与 $xOy$ 上的投影面积之比为 $\sqrt{1+z{{}^{\prime }}_1^2+z{{}^{\prime }}_2^2}$，这由梯度决定。越陡峭的平面投影下来比值越大

平面 $z=z(x,y)$ 梯度方向与 $(\frac{1}{z_1^{\prime }},\frac{1}{z_2^{\prime }},0)$ 垂直，因此有形式 $(z_1^{\prime },z_2^{\prime },z{{}^{\prime }}_1^2+z{{}^{\prime }}_2^2)$，该方向向量在 $xOy$ 平面投影为 $(z_1^{\prime },z_2^{\prime },0)$，两向量模之比：

$$\sqrt{\frac{z{{}^{\prime }}_1^2+z{{}^{\prime }}_2^2+(z{{}^{\prime }}_1^2+z{{}^{\prime }}_2^2{)}^2}{z{{}^{\prime }}_1^2+z{{}^{\prime }}_2^2}}=\sqrt{1+z{{}^{\prime }}_1^2+z{{}^{\prime }}_2^2}$$

上面这个应该不能叫梯度

平面 $z=z(x,y)$ 其实应该视为二维平面 $xOy$ 上的向量场，其梯度为二维向量 $(z_1^{\prime },z_2^{\prime })$