曲面积分

下面将提到两类曲面积分：第一类曲面积分和第二类曲面积分。并将第二类曲面积分转换为第一类曲面积分

第一类曲面积分

$$\iint gdS=\iint g\sqrt{1+z_1^{{}^{\prime }2}+z_2^{{}^{\prime }2}}dxdy$$

第一类曲面积分也叫纯量积分（与向量积分相对），实例如：一块钢板有薄有厚，已知每一处的质量，求钢板的总重量

在曲面较复杂（但可微），不方便直接求时，常将曲面投影到某个平面上，利用一块平面去近似可微局部，从而转换为 $xOy$ 平面上的二重积分

投影后局部面积之比由曲面梯度决定

第二类曲面积分

$$\iint \vec{G}d\vec{S}=\iint \vec{G}\cdot \vec{n}dS$$

第二类曲面积分是向量积分，实例如：磁场中的某块曲面的磁通量

考虑一个问题：如何把第二类曲面积分写成 $\iint Pdydz+Qdzdx+Rdydz$ 的形式

也就是如何在 $dS$ 和投影积分之间互相转换

从向量积分的意义出发，可以从点积的 $3$ 个分量分开积分：

$$\iint \vec{G}d\vec{S}={\iint }_S{G}_{x}dydz+G_{y}dzdx+G_{z}dxdy$$

同时，根据第一类曲面积分的结论，可以得到

$$\iint \vec{G}\cdot \vec{n}dS=\iint \vec{G}\cdot \vec{n}\sqrt{1+z_1^{{}^{\prime }2}+z_2^{{}^{\prime }2}}dxdy$$

这样就沟通了 $4$ 个等式

斯托克斯定理

$${\iint }_{\Sigma }(\nabla \times \vec{F})\cdot d\Sigma ={\oint }_{\partial \Sigma }\vec{F}d(\partial \Sigma )$$ $$\begin{array}{rl}& \iint \left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|dS\\ =& {\iint }_{\Sigma }(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})dydz-(\frac{\partial F_z}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial z})dzdx+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})dxdy\\ =& {\oint }_{\partial \Sigma }(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)\end{array}$$

斯托克斯和上面第二类曲面积分长得有一点相似，但题干都不是一回事。上面的 $G$ 是斯托克斯公式中的向量场旋度 $\nabla \times \vec{F}$