曲线积分

设 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 ${\int }_{L}xdy-2ydx$ 的值为

本质上，第一类和第二类积分没有什么区别。

第二类积分说是向量微积分，但实际上积出来仍然是一个实数

如果说第一类曲线积分是对一条绳子的密度进行积分来得到质量，那么第二类曲线积分同样如此，只不过它的每一点的密度 $m(x,y)$ 由曲线方向 $v$ 和向量场 $F$ 共同决定，即

$$\begin{array}{rl}{\int }_{L}xdy-2ydx& ={\int }_{L}mds\\ & ={\int }_{L}Fvds\end{array}$$

在本例中，向量场 $F(x,y)=(-2y,x)$，绳子每一点的密度 $m$ 为 $F$ 到曲线方向上的投影长度，其值为点积 $Fv$：

如果把 $Fv$ 分解到同一组正交的基向量上，则 $Fv=(F_x,F_y)(v_x,v_y)=F_x{v}_x+F_y{v}_y$

这也是第二类曲面积分总是以 $\int Pdx+Qdy$ 出现的原因，其有一种基本的计算方法是换元到参数方程：

$$\int Pdx+Qdy=\int (P\frac{dx}{dt}+Q\frac{dy}{dt})dt$$

但其实有时候不换元也能做，尽管在能简化计算的情况下通常都换元计算

比如本题是个圆周，所以可以极坐标换元：

$$\begin{array}{rl}\int xdy-2ydx& ={\int }_0^{\pi /2}2\cos t\cos t+4\sin t\sin tdt\\ & ={\int }_0^{\pi /2}2+2{\sin }^{2}tdt\\ & =\pi +2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}tdt\\ & =\pi +\frac{1}{2}\pi \\ & =\frac{3}{2}\pi \end{array}$$

如果不换元，就是计算两个方向上的分量：

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\sqrt{2}}xdy-2ydx& ={\int }_0^{\sqrt{2}}xdy+{\int }_0^{\sqrt{2}}2ydx\\ & ={\int }_0^{\sqrt{2}}\sqrt{2-y^2}dy+{\int }_0^{\sqrt{2}}2\sqrt{2-x^2}dx\\ & =\frac{3}{2}\pi \end{array}$$

上式第一个等号两侧为何负号要变为正号？

由上文推理知，$Pdx$ 本质是向量场 $F$ 和 曲线方向 $v$ 在 $x$ 轴方向上的投影的长度，如果要拆成两个积分的话，就要将投影拆到 $x,y$ 轴上分别积分

非常幸运！本例的这两个向量在整条曲线上都没有正负号的变化，比如 $F_x{v}_x=(-2y,0)(\frac{ds}{dx},0)$ 中两个向量始终朝向 $x$ 轴负方向

上面这个变号其实是非常 ugly 的写法，如果从上面的极坐标形式回过来表示这个过程:

$$\begin{array}{rl}{\int }_L(-2y)dx& ={\int }_L(-2y,0)\cdot d(x,0)\\ & ={\int }_0^{\pi /2}(-2\sin t,0)\cdot \frac{d(x,0)}{dt}dt\\ & ={\int }_0^{\pi /2}(-2\sin t,0)\cdot (\frac{dx}{dt},0)dt\\ & ={\int }_0^{\pi /2}(-2\sin t,0)\cdot (-\sin t,0)dt\\ & ={\int }_0^{\pi /2}2{\sin }^{2}tdt=\pi /2\\ & ={\int }_0^{\pi /2}2\sin td(-\cos t)\\ & ={\int }_1^0-2ydx\\ & ={\int }_0^{1}2ydx\end{array}$$

😋😋

应该说，极坐标下在 $L$ 上进行积分，其仍然是二重积分，而拆成两个一元积分时，本质上是投影到两个一维空间上计算，这样就丢失了方向信息。这也是需要曲线投影方向不变化的原因，这可以从 $\cos$ 在换元时是单射看出来