投影柱面的联立方程和消元

三维空间中

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

确定了一个曲线，此曲线是 $F=0,G=0$ 这两个曲面上的点之交（应该也不一定是曲线，万一是曲面呢）

要求该曲线到 $yOz$ 平面的投影

做法是将两个方程联立并消去 $x$，这得到了包含该曲线的垂直于 $yOz$ 平面的柱面，再将该柱面与 $yOz$ 平面联立，也即 $x=0$

整个过程很简单，但消元这一步显得有点奇怪

有点不好说清楚消元具体干了什么，什么情况下能消元，什么情况下不能消元，消元之后得到的式子与原式是什么关系

首先

首先，消元之后得到了一个柱面，显然该柱面不一定被囊括在两个曲面 $F,G$ 之中

简单例子

$$\{\begin{array}{l}F:y=x^2\\ G:z=x^2\end{array}$$

联立消元得 $y=z$，这一共三个曲面不能说毫无关系，只能说勉强相交

如果把三个方程联立，会发现得到了与 $F,G$ 联立相同的曲线

太酷了，很符合我对投影柱面的想象，$y=z$ 几乎就是无效信息

怎么证明

怎么证明 $F,G$ 联立的曲线被这个柱面包含在内

问题在于我没办法去表示这个柱面，因而无法去真正操作他