神奇的积分

记录一些神奇的不定积分，定积分，反常积分

掌握常见的换元，变限，各种技巧

常翻常看，形成小脑记忆

不定积分

$$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \left|\right|$$

$$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \left|\right|$$

定积分

反常积分

$${\int }_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\pi$$

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}={\int }_0^1\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}={\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{\sin x}\to \infty$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}={\int }_0^1\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=1$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)}}={\int }_0^1\frac{dx}{x\sqrt{1-x}}\to$$

$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x(x^2-1)}={\int }_0^1\frac{xdx}{1-x^2}=-\frac{1}{2}\ln (1-x^2){|}_0^1\to \infty$$

极限转定积分

中值定理

stolz 定理