DE

$$F(x,\varphi (x),{\varphi }^{\prime }(x),{\varphi }^{\prime \prime }(x),...,{\varphi }^{(n)}(x))\equiv 0$$

最高几阶导，称为微分方程的阶

考核范围仅限线性微分方程

微分算子复习

考研范围大概只用掌握以下几类微分方程

• DE
  • 一阶线性
    • 可分离变量
    • 一阶齐次
    • 可化为齐次
    • 【概念】线性微分方程
      • 例：一阶非线性微分方程
  • 特例
    • 欧拉方程
      • 1. 观察可知 $y=x^r$ 是一个特解
      • 2. 另一种解法是通过换元 $x=e^t$
    • 伯努利方程
    • 可降阶的高阶微分方程
      • 1. $y^{(n)}=f(x)$
      • 2. $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$
      • 3. $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$
  • 特定二阶非齐次常系数线性
    • 二阶常系数齐次
    • 二阶常系数非齐次
    • $n$ 阶常系数齐次

一阶线性

可分离变量

$$P(x)dx=P(y)dy$$

解法是显然的

一阶齐次

$$\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$$

可化为齐次

$$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}$$

通过换元 $x^{\prime }=x+A,y^{\prime }=y+B$ 来将其转化为齐次

$$\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}=\frac{a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }+(c-aA-bB)}{a_1{x}^{\prime }+b_1{y}^{\prime }+(c_1-a_{1}A-b_{1}B)}$$

因此只需通过

$$\{\begin{array}{ll}& c-aA-bB=0\\ & c_1-a_{1}A-b_{1}B=0\end{array}$$

来唯一确定 $A,B$

这个二元方程有四种情况，唯一解，一维任意解，二维任意解，无解

1. 唯一解对应 $A,B$ 系数矩阵可逆，解空间为整个平面
2. 一维任意解对应系数矩阵不可逆，但非零矩阵，同时 $\frac{c}{c_1}=\frac{a}{a_1}$，$(c,c_1)$ 在一维的解空间中
3. 二维任意解对应系数矩阵为零矩阵，同时 $c_1=c=0$，解空间为零点
4. 无解是除以上以外的任意情况，$(c,c_1)$ 不在 $(a,a_1)$ 和 $(b,b_1)$ 张成的向量空间中

只有 1. 需要换元，2. 的微分方程右侧为常数，3. 不可能出现（分母为 0），4. 可以分类讨论以下

1. 系数矩阵秩为 $0$，此时微分方程右侧为常数，或者 $c_1=0$ 时不可能
2. 系数矩阵秩为 $1$，此时微分方程右侧可以化为 $\frac{a}{a_1}+\frac{d}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}$

具体例子来说

$$\frac{dy}{dx}=1+\frac{1}{x+y+1}$$

此时设 $u=x+y+1$，则 $dy/dx=d(u-x-1)/dx=du/dx-1$

于是转化为可分离变量的一阶线性微分方程

$$\frac{du}{dx}=2+\frac{1}{u}$$

【概念】线性微分方程

$$a_0(x)y+a_1(x)y^{\prime }+a_2(x)y^{\prime \prime }+...+a_n(x)y^{(n)}=b(x)$$

【同济】形如以下形式的方程称为一阶线性微分方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

例：一阶非线性微分方程

$$e^y+y^{\prime }=0$$

特例

欧拉方程

柯西-尤拉方程是形式如

$$x^2{y}^{\prime \prime }+bx{y}^{\prime }+cy=0$$ （其中 $b,c$ 是常數）的二階變係數常微分方程。

1. 观察可知 $y=x^r$ 是一个特解

$$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=r{x}^{r-1}\\ & \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=r(r-1)x^{r-2}\end{array}$$

于是方程转化为 $$(r(r-1)+br+c)y=0$$

wiki 对于这个二次方程的三个解做了分别讨论

1. 两个不同解时通解为 $y=c_1{x}^{m_1}+c_2{x}^{m_2}$
2. 两个相同解时通解为 $y=c_1{x}^m\ln (x)+c_2{x}^m$
3. 比较复杂，懒得写了，总之是复数

2. 另一种解法是通过换元 $x=e^t$

为什么这里好像假设了 $x>0$ 哦，$t$ 可以是复数，那没事了

微分算子复习

$D\to \frac{d}{dt}$

$Dy=x{y}^{\prime },D(D-1)y=x^2{y}^{\prime \prime }$

原方程转化为 $(D^2-D+bD+c)y=0$

于是变成 $y$ 对 $t$ 的二阶齐次线性微分方程

伯努利方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$

可降阶的高阶微分方程

1. $y^{(n)}=f(x)$

积 $n$ 次即可

2. $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

设 $y^{\prime }=p$，即有 $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$

TODO: $y^{\prime }=e^{xy}$ 似乎也有这种形式，常数变易法能做吗

3. $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

设 $y^{\prime }=p$，则有

$$\begin{array}{rl}\frac{dp}{dx}& =f(y,p)\\ & =\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}\\ & =\frac{dp}{dy}p\end{array}$$

转换为 $\frac{dp}{dy}=\frac{1}{p}f(y,p)$

特定二阶非齐次常系数线性

二阶常系数齐次

二阶常系数非齐次

$$a_1{f}^{\prime \prime }(x)+a_2{f}^{\prime }(x)+a_{3}f(x)=e^{cx}(b_1{x}^3+b_2{x}^2+b_{3}x+b_4)$$

写为矩阵乘法：

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}^{\prime \prime }(x)\\ f^{\prime }(x)\\ f(x)\end{array}\right)=e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& b_3& b_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)$$

设特解为

$$g(x)=e^x(p_1{x}^3+p_2{x}^2+p_{3}x+p_4)=e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)$$

则 $dg(x)/dx$ 可求为

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =c{e}^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)+e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ x\end{array}\right)\\ & =e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)[c+\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)]\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

递归可得

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime \prime }(x)& =e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)\left\{c\right[c+\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)]+\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\}\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

我草，写起来好麻烦，记

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

于是上面都简化为：

$$\begin{array}{rl}& g(x)=e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)\\ & g(x)=e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)(c+A)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)\\ & g^{\prime \prime }(x)=e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)(c(c+A)+A)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

于是

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{g}^{\prime \prime }(x)\\ g^{\prime }(x)\\ g(x)\end{array}\right)=e^{cx}\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c(c+A)+A\\ c+A\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^3\\ x^2\\ x\\ 1\end{array}\right)$$

故

$$\left(\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& p_3& p_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c(c+A)+A\\ c+A\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& b_3& b_4\end{array}\right)$$

$n$ 阶常系数齐次