同阶无穷小的归化

$$x^3+x^4\sim x^3$$

$x^4$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小，这指的是其收敛到 $0$ 的速度更快

若 $\lim \frac{a_n}{b_n}=0$，则称 $a_n$ 是 $b_n$ 的高阶无穷小

由极限的四则运算知 $\lim a_n=\frac{1}{\lim 1/a_n}$，因而两个无穷小之间的关系，要么是同阶（即比值极限为实数），要么互为高阶/低阶无穷小

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+x^4}{x^3}=1+0=1\ne 0$$

拉格朗日中值

函数 $f(x)$ 相同，且 $x$ 逼近时，可以利用拉格朗日中值，将一个无穷小转化到另一个无穷小：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\ln (x+\sqrt{1+x^2})-\ln (1+x)\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\xi (x)}((x+\sqrt{1+x^2})-(1+x))\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\xi (x)}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{1+x^2}-1\end{array}$$

我不好说，$x+\sqrt{1+x^2}$ 和 $\ln (1+x)$ 同时趋于 $1$，这保证了 $\xi (x)$ 趋于 $1$，因而能得到一个值

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+\sqrt{1+x^2})-\ln (1+x)}{x^2}\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}\\ =& \frac{1}{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2(\ln (x+\frac{1}{x})-\ln x)\\ =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\frac{1}{\xi (x)}(x+\frac{1}{x}-x)\\ =& \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\xi (x)}\\ =& 1\end{array}$$

当然这个也可以直接用对数函数变换：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2(\ln (x+\frac{1}{x})-\ln x)\\ =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\ln (1+\frac{1}{x^2})\\ =& 1\end{array}$$

如果

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2(\ln (x+\frac{1}{x})-\ln x)& =\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\frac{1}{\xi (x)}(x+\frac{1}{x}-x)\\ & =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\xi (x)}\\ & =1\end{array}$$

$\ln (1+\frac{1}{x})$ 相关的无穷大

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{4x^2+x}\ln (2+\frac{1}{x})\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{4x^2+x}(\ln (2x+1)-\ln x)\\ =& \underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{4x^2+x}\ln (2x+1)-\sqrt{4x^2+x}\ln x\\ =& 0\end{array}$$

减号两侧都是趋于 $0$，其差也趋于 $0$

这里用到了 ${\lim }_{x\to 0}{x}^a\ln x=0$，只需 $a>0$

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$若f(x)=x+o(x)$ 则 $f^{-1}(x)\sim x$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\in \mathbb{Q}\\ -x,& \text{others}\end{array}$$