一些情况的特例

可微但偏导不连续

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}xy\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& \text{others}\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

基本上是一元函数可导但导函数不连续的二维版本，其在 $x,y$ 轴以外的地方，即 $xy\ne 0$ 时无穷震荡

混合偏导不相等

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& \text{others}\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

混合偏导 $f_{12}^{\prime \prime }=f_{21}^{\prime \prime }$ 相等的条件似乎是混合偏导连续

此例中，$(x,y)\ne (0,0)$ 时，

$$\begin{array}{rl}{f}_1^{\prime }(x,y)& =y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\frac{2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2{)}^2}\\ & =y\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{4x^2{y}^3}{(x^2+y^2{)}^2}\end{array}$$

且在 $(0,0)$ 附近趋于 $f_1^{\prime }(0,0)={\lim }_{x\to 0}0/x=0$，故 $f_1^{\prime }$ 在 $(0,0)$ 附近连续

求二阶混合偏导:

$$\begin{array}{rl}{f}_{12}^{\prime \prime }(x,y)& =\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+y\frac{4x^2{y}^3}{(x^2+y^2{)}^2}+\frac{12x^2{y}^2(x^2+y^2)-4x^2{y}^{3}2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2{)}^4}\\ & =\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{4x^2{y}^4}{(x^2+y^2{)}^2}+\frac{12x^2{y}^2(x^2+y^2{)}^2-4x^2{y}^{3}2(x^2+y^2)2y}{(x^2+y^2{)}^4}\end{array}$$

将其写为极坐标形式，则上下同阶，$\rho$ 抵消，其值根据 $\theta$ 而变化。当 $(x,y)\to (0,0)$ 时，其取值取决于 $\theta$，故而不连续。

如果求一下 $f_{12}^{\prime \prime }(0,0)$ 会发现 $f_{12}^{\prime \prime }(0,0)={\lim }_{y\to 0}-yy=-1$，这仅仅是从 $x$ 轴方向趋近 $(0,0)$ 时 $f_{12}^{\prime \prime }(x,y)$ 的取值

偏导存在但不可微

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& \text{others}\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$