二元函数中的隐函数相关问题

把微分以向量看待，全微分和偏导之间的关系很有意思

一阶偏导

$$F(x,y,z)=0⟹\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$

我觉得这个式子的推导应该来自于全微分：

$$\begin{array}{rl}dF(x,y,z)& =d0=0\\ & =\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz\\ & =\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}(\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy)\end{array}$$

因此，如果对 $x$ 求偏导，则 $dy=0$，于是上式变为:

$$dF(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}dx=0$$

上面的推导没有对 $x,y$ 的约束，因此这二者可以不必正交

二元函数上的曲线

如果二元函数 $f(x,y)$ 上由 $f(x,y)=0$ 确定了一条曲线 $l$

考虑 $l$ 方向的方向导数乘上 $l$ 的全微分（$l$ 方向上的导数实际上是 $0$)

$$\begin{array}{r}\frac{\partial f}{\partial l}dl=\frac{\partial f}{\partial l}(\frac{\partial l}{\partial x}dx+\frac{\partial l}{\partial y}dy)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

再对比直接考虑 $f$ 的全微分：

$$\begin{array}{r}df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

在 $l$ 方向上 $df=0$，由此得到

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f}{\partial x}/\frac{\partial f}{\partial y}$$

但从 $(1)$ 式无法推出 $\frac{dy}{dx}$

$(1),(2)$ 两式的区别在哪。或者问 $(1),(2)$ 两个式子谁蕴含的信息更多

把 $(2)$ 式用 $l:y=l(x)$ 写为

$$\begin{array}{rl}df(x,l(x))& =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial l}dl\\ & =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial l}\frac{dl}{dx}dx\end{array}$$

此式中的微分含义不再是全微分：既然用 $y=l(x)$ 来约束了 $x,y$ 之间的关系，则在特定点处该微分即为该点处 $l$ 方向的方向导数

可见全微分