连续，偏导，可微

• 二元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，啥都推不出来，例如：

$$f(x,y)=\sqrt[4]{x^2+y^2}$$

在 $(0,0)$ 连续，偏导不存在，不可微

• 偏导存在并连续，则必可微

当全微分指向从 $(a,b)$ 到 $(c,d)$ 方向时，其值为该方向的方向导数

如果 $(a,b)$ 点处偏导数存在且连续，则 $(a,b)$ 附近有一块包含 $(c,b)$ 的邻域，满足 $f_Y(c,b)\to f_Y(a,b)$

在无穷小的情况下，有如下近似：

$$\begin{array}{rl}{f}_{(a,b)\to (c,d)}^{\prime }(a,b)& =\underset{(c,d)\to (a,b)}{\lim }\frac{f(c,d)-f(a,b)}{||(c,d)-(a,b)||}\\ & =\underset{(c,d)\to (a,b)}{\lim }\frac{f(c,d)-f(c,b)+f(c,b)-f(a,b)}{||(c,d)-(a,b)||}\\ & =\underset{(c,d)\to (a,b)}{\lim }\frac{f(c,d)-f(c,b)}{||(c,d)-(c,b)||}\frac{||(c,d)-(c,b)||}{||(c,d)-(a,b)||}+\frac{f(c,b)-f(a,b)}{||(c,b)-(a,b)||}\frac{||(c,b)-(a,b)||}{||(c,d)-(a,b)||}\\ & =\underset{(c,d)\to (a,b)}{\lim }{f}_Y(c,b)\frac{||(c,d)-(c,b)||}{||(c,d)-(a,b)||}+f_X(a,b)\frac{||(c,b)-(a,b)||}{||(c,d)-(a,b)||}\\ & =f_Y(a,b)\sin \alpha +f_X(a,b)\cos \alpha \end{array}$$

于是该方向的方向导数能用偏导线性表示

如果所有方向的方向导数都能用偏导数来同样的线性表示，那么称之为可微

用一个向量来表示这样的方向导数，称为该函数的全微分

上面这个同样的不太好描述清晰，举例而言，二元函数，也就是三维空间上的函数，其全微分应该处于由两个偏导数所张成的切平面上

从切平面上逼近切点，距离函数的差值是距离点的度量的高阶无穷小

换言之切点附近可以用切面去近似这个函数

如果用 Jacobi 行列式 $J$ 则更好说明。可微定义为：

$$\underset{\overrightarrow{h}\to \overrightarrow{(0,0)}}{\lim }\frac{||f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{h})||-||J(\overrightarrow{h})||}{||\overrightarrow{h}||}=0$$

其中 $J(\overrightarrow{h})$ 就代表了全微分，相当于切面，而左边则是方向导数

注意 上方推导过程中，直到最后一步，都不要求 $x,y$ 垂直。从概念上看，只需两个偏导方向能张成所需空间即可

例如：已知 $f(x,y)$ 可微，且

$$\begin{gathered} f(x+1,\ln (x+1))=(1+x{)}^3+x\ln (1+x)(x+1{)}^{\ln (1+x)} \\ f(x^2,x-1)=x^4{e}^{x-1}+(x-1)(x^2-1)x^{2(x-1)} \end{gathered}$$

求 $df(1,0)$

• 可微不一定偏导连续

在一元函数上类比这句话，即可导不一定导数连续，这在一元函数上也是对的，如：

$$\begin{array}{rl}& f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& \text{others}\\ 0,& (0,0)\end{array}\\ \to & f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x},& \text{others}\\ 0,& (0,0)\end{array}\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(0)& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2\sin \frac{1}{x}-0}{x-0}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}\\ & =0\end{array}$$

也即 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，并且导函数等于 $0$，然而在 $x=0$ 点处 $f^{\prime }(x)$ 其实又是震荡的，并不连续

将这个例子扩展到二元函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& \text{others}\\ 0,& \text{(0, 0)}\end{array}$$

就得到了可微但偏导数不连续的例子