推广的积分中值定理 偷自 wiki

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 在其上非负，则

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$

思路

$f(x)$ 把 $[a,b]$ 连续地映射到 $[m,M]$ 上

证

可知 $m\le f(x)\le M$，于是 $m{\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le M{\int }_a^{b}g(x)dx$

由介值性知存在 $\xi \in [a,b]$ 满足

$$f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}$$

于是

$$f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$$

得证