梯度和法向量

过原点的平面

• 一一对应于一个梯度向量
• 一一对应于一个法向量

所以 梯度向量和法向量也是相对应的

切平面方程

曲面 $z=z(x,y)$ 微分得切平面方程

$$z-z_0=z_1^{\prime }(x-x_0)+z_2^{\prime }(y-y_0)$$

梯度

曲面 $z(x,y)$ 的梯度为 $(z_1^{\prime },z_2^{\prime })$

将该向量扩展到切平面上: $(z_1^{\prime },z_2^{\prime },z_1^{\prime 2}+z_2^{\prime 2})$

法向量

$(z_1^{\prime },z_2^{\prime },-1)$

隐函数定义的曲面

$F(x,y,z)=0$ 微分得切平面方程

$$\frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0)=0$$

• 梯度向量 $(-\frac{\partial F}{\partial x},-\frac{\partial F}{\partial y},\frac{1}{\frac{\partial F}{\partial z}}({\frac{\partial F}{\partial x}}^2+{\frac{\partial F}{\partial y}}^2))$
• 法向量 $(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$