拉格朗日乘数

约束条件极值问题

一般题目是两个曲面方程定义的约束：

${F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0$

两个曲面相交为了一条曲线，要求其上隐含的 $z (x, y)$ 的极值

拉直

曲线总能表示为参数方程形式 $z = z (x (t), y (t))$ ，相当于把空间曲线拉直到平面上： $z = z (t)$

曲面交线方程

写出两个曲面在 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 切平面：

${F_{1}^{'} (x - x_{0}) + F_{2}^{'} (y - y_{0}) + F_{3}^{'} (z - z_{0}) = 0 G_{1}^{'} (x - x_{0}) + G_{2}^{'} (y - y_{0}) + G_{3}^{'} (z - z_{0}) = 0$

交线的切线应当同时在两个切平面上

这里只关心交线的切线方向，常数项可以忽略，所以可以直接取法向量叉乘：

$(F_{1}^{'}, F_{2}^{'}, F_{3}^{'}) \times (G_{1}^{'}, G_{2}^{'}, G_{3}^{'}) = (.., .., F_{1}^{'} G_{2}^{'} - F_{2}^{'} G_{1}^{'})$

因为找极值点，所以只需要知道切向量第三项为 $0$ 的店，即： $F_{1}^{'} G_{2}^{'} = F_{2}^{'} G_{1}^{'}$

于是可以找到所有极值点

该约束的来源

梯度向量 $\nabla f$ 方向上 $f$ 增长最快，而其垂直的向量空间上 $f$ 不变（亦即满足 $f = 0, g = 0$ )

因此，图像上点 $P$ 允许移动的方向是 $\nabla f, \nabla g$ 的切空间的交集

因而是 $\nabla f, \nabla g$ 并集的切空间，记为 $A$

要筛选出 $z$ 的极值点，就是筛选出 $\nabla z = 0$ 的点

但此时 $z$ 并非自由，而是有约束，每一点 $P$ 上只允许往 $v$ 方向运动

因此只需要筛出 $\nabla z \cdot v = 0$ 的点

现在，我已知 $\nabla z$ ，已知 $v \in A$

如果 $z$ 在 $A$ 上有一点沿向量 $v$ 满足 $\nabla z \cdot v = 0$ 恒成立，则 $\nabla z$ 在 $\nabla f, \nabla g$ 的并集之中，亦即

$\nabla z = λ_{1} \nabla f + λ_{2} \nabla g$

于是得到拉格朗日乘数法的新约束

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