仅求单个偏导

在 $z = z (x, y)$ 中，我能求 $d z = z_{1}^{'} d x + z_{2}^{'} d y$ ，那么我能求 $d y / d x$ 吗

不能。因为 $d x, d y$ 只是在平面中选取的一组基， $d z / d x, d z / d y$ 分别表示这组基方向上的贡献。 $d y / d x$ 没有意义

如果 $z = z (x, y)$ , $f (x, z) = 0$ ，则 $f_{1}^{'} + f_{2}^{'} z_{1}^{'} = 0$

对，但很像一元函数的链式求导过程：假如修改 $z = z (x)$ ，则 $df / d x = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} \frac{d z}{d x}$ ，但二者完全不同

完整过程应该是

$df = f_{1}^{'} d x + f_{2}^{'} d z = f_{1}^{'} d x + f_{2}^{'} (z_{1}^{'} d x + z_{2}^{'} d y) = (f_{1}^{'} + f_{2}^{'} z_{1}^{'}) d x + f_{2}^{'} z_{2}^{'} d y = 0$

将 $d x, d y$ 看作向量，则 $df$ 始终为 $0$ 向量，因而

${f_{1}^{'} + f_{2}^{'} z_{1}^{'} = 0 f_{2}^{'} z_{2}^{'} = 0$

与一元函数有本质区别

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