线性微分方程

由 $y$ 及其导数以线性多项式构成的等式，叫线性微分方程

形如

$a_{0} (x) y + a_{1} (x) y^{'} + ... + a_{n} (x) y^{(n)} = b (x)$

为什么叫线性

若 $f, g$ 是方程的两个解，考虑齐次情况：

$a_{0} (x) f + a_{1} (x) f^{'} + ... + a_{n} (x) f^{(n)} = 0 a_{0} (x) g + a_{1} (x) g^{'} + ... + a_{n} (x) g^{(n)} = 0$

由于求导是线性操作，所以

$(k f + m g)^{(n)} = k f^{(n)} + m g^{(n)}$

所以

$a_{0} (x) (k f + m g) + a_{1} (x) (k f + m g)^{'} + ... + a_{n} (x) (k f + m g)^{(n)} = 0$

$k f + m g$ 也是微分方程的解

$y y^{'} + y = x$ 或者 $y^{'} + e^{y} = 0$ 均非线性

考察 $f + g$ 在 $(x, (f + g) (x))$ 处的导数，简略起见，可以平移曲线，将该点平移到 $(0, 0)$ ，于是不妨设改点为 $(0, 0)$

$(f + g)^{'} = lim \frac{f + g}{x}$

如果 $f^{'}$ 和 $g^{'}$ 均存在，也就是说两个极限存在，则有

$(f + g)^{'} = lim \frac{f + g}{x} = lim \frac{f}{x} + lim \frac{g}{x} = f^{'} + g^{'}$

欧拉发现这种方程解的形式均为 $y = e^{z x}$

$y^{''} + m y^{'} + n = 0 e^{z x} (z^{2} + m z + n) = 0$

当解为共轭复根时，设 $z = a \pm bi$ ，则有两个解

$y_{+} = e^{a x} (cos b x + i sin b x) y_{-} = e^{a x} (cos b x - i sin b x)$

构成了解系的一组基

所以

$\frac{1}{2} (11 1 - 1) (y_{+} y_{-}) = (e^{a x} cos b x e^{a x} sin b x)$

亦构成一组基

解释了为何此方程的通解为 $y = e^{a x} (C_{1} cos b x + C_{2} sin b x)$