一些细微的问题

积分的换元

$$\begin{array}{rl}g(x)& ={\int }_{-x}^{0}tf(x+t)dt\\ & ={\int }_0^x(u-x)f(u)du\end{array}$$

• 为什么能这样换元
• 为什么这么换元能简化计算

开区间上原函数

已知闭区间上连续函数必有原函数，问：

$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，怎么证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有原函数

无定义点的连续性

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\text{ is rational}\\ 1,& x=\sqrt{2}\\ \text{undefined},& \text{others}\end{array}$$

问 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续

无定义点的积分与原函数

第一类间断点可以有定积分，但定积分在该点处不一定可导

原函数一定是可导的

这两个等价吗？

$${\int }_0^{1}f(tx)dt={\int }_0^{x}f(t)dt$$

并不相等

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}f(tx)dt& ={\int }_0^{x}f(u)d(\frac{1}{x}u)\\ & =\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)du\end{array}$$

所以相当于在 $x$ 轴上放缩了 $\frac{1}{x}$，因为把原本 $(0,x)$ 的图像缩到了 $(0,1)$

二元函数在不连续点的偏导的存在性

660: T227

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^4+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在 $(0,0)$ 处存在偏导吗，不可微是什么意思？

二元函数的极值怎么求？

我发现二元函数极值问题基本都假设函数性质足够好，而且只需要判断在某一点是否是极值点或者驻点

更难的概念是用隐函数来约束

二阶偏导数

二维分段函数的偏导数已经很麻烦了，更麻烦的是求二阶偏导数：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& \text{others}\end{array}$$

分类来求：

$$f_x^{\prime }(0,0)=\lim \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0$$

$$\begin{array}{rl}{f}_x^{\prime }(x,y)& =\lim \frac{f(x,y)-f(x+\Delta x,y)}{\Delta x}\\ & =\frac{x^{4}y+4x^2{y}^3-y^5}{(x^2+y^2{)}^2}\end{array}$$

进一步分类求二阶偏导：

$$\begin{array}{rl}{f}_x^{\prime \prime }y(0,0)& =\lim \frac{f_x^{\prime }(0,y)-f_x^{\prime }(0,0)}{y-0}\\ & =\lim \frac{-y^5}{y^{4}y}\\ & =-1\end{array}$$

非 $0$ 点太难算了就不算了

同样的求另一个混合偏导

$$f_y^{\prime }(0,0)=\{\begin{array}{ll}0,& (0,0)\\ \frac{x^5-4x^3{y}^2-x{y}^4}{(x^2+y^2{)}^2},& \text{others}\end{array}$$

于是求得 $(0,0)$ 处的二阶偏导

$$\begin{array}{rl}{f}_y^{\prime \prime }x(0,0)& =\lim \frac{f_y^{\prime }(x,0)-f_y^{\prime }(0,0)}{x-0}\\ & =\lim \frac{x^5}{x^{4}x}\\ & =1\end{array}$$

二元函数与参数方程

$$\frac{df(x(t),y(t))}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

上面这个式子里，$(x(t),y(t))$ 实际上描述了一条曲线，于是上面等式可以看作 $f$ 在曲线上每一点上的方向导数

二元函数逼近的线性曲线并不近似

二元函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点处，以曲线 $y=g(x)$ 的轨迹逼近 $(0,0)$，与以直线 $y=g^{\prime }(0)x$ 的轨迹逼近 $(0,0)$，二者取得相同的极限值吗？

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x,g(x))\stackrel{?}{=}\underset{x\to 0}{\lim }f(x,g^{\prime }(0)x)$$

答：并不

考虑以曲线 $y=e^{1/|x|}$ 逼近 $f(x,y)$，其中

$$f_1(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& y=0\\ 1,& y\ne 0\end{array}$$

或者以曲线 $y=x^2$ 逼近

$$f_2(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& y=2x\\ 1,& y\ne 2x\end{array}$$

这是否说明，只取直线轨迹 $l$，不能取遍 $\lim f(x,l(x))$ 的所有可能值？

能不能找一条直线 $y=h(x)$ 趋于 $(0,0)$ 使得对于

$$f_3(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& y=x^2\\ 1,& \text{others}\end{array}$$

满足 ${\lim }_{x\to 0}{f}_3(x,h(x))=0$

当然是不能的，因为直线过 $(0,0)$ 则 $y=kx$ 或者 $k$ 不存在，只看 $y=kx$ 的情况，

$$\underset{x\to 0}{\lim }{f}_3(x,h(x))=\underset{x\to 0}{\lim }{f}_3(x,kx)$$

在 $x\to 0$ 的过程中，$y=x^2$ 与 $y=kx$ 至多只有一个点能满足，那就是 $x=k$，因而该极限的聚点必为 $1$

但显然以 $y=x^2$ 的轨迹来接近，就能取到 $0$ 的极限

极坐标是另一个情况，相当于直接圈出去心邻域

知乎写了一个

收敛但导数无穷的级数

想象这样一个点列：

$$\begin{gathered} (1,1) \\ (1+\frac{1}{2},1-\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}) \\ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4},1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}) \\ ... \\ (x_n,y_n) \end{gathered}$$

$x_n$ 发散，因而当 $x_n\to \infty$ 时，$y_n$ 收敛于常数，然而比值

$$|\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}|=\sqrt{n}\to \infty$$

也就是说如果将这些点连接起来，将得到一条折线，其收敛于常数，却在无穷远处无穷震荡

无穷次放缩

数列 $\{x_n\}$ 存在常数 $0<k<1$ 使得 $|x_{n+1}-a|\le k|x_n-a|$，$n=1,\mathrm{2...}$，证明 $\{x_n\}\to a$

证

$\lim |x_n-a|\le \lim k^{n-1}|x_1-a|=0$

题目本身很简单，问题在于上面这个 $\le$:

如果题目给的不等式改为 $|x_{n+1}-a|<k|x_n-a|$，则比较这两个极限仍然取 $\le$