指数的泰勒级数收敛到原函数

泰勒级数不一定收敛

若收敛，在收敛域内不一定收敛到原函数

$e^x$

记 $e^x$ 的泰勒级数为 $\exp (x)$

$$\exp (x)=1+x+x^2/2+x^3/(3!)...$$

首先我们定义 $e=\exp (1)$

如果有 $\exp (a)\exp (b)=\exp (a+b)$，则对于整数 $n$: $\exp (a{)}^n=\exp (a\ast n)$

显然容易推及到有理数

于是对于有理数 $q$:

$$e^q=\exp (1{)}^q=\exp (q)$$

接下来

• 利用二项式定理，证明 $\exp (a)\exp (b)=\exp (a+b)$
• 证明 $\exp$ 连续 $\to$ 推广到实数