拉格朗日乘数

约束条件极值问题

一般题目是两个曲面方程定义的约束：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

两个曲面相交为了一条曲线，要求其上隐含的 $z(x,y)$ 的极值

拉直

曲线总能表示为参数方程形式 $z=z(x(t),y(t))$，相当于把空间曲线拉直到平面上：$z=z(t)$

曲面交线方程

写出两个曲面在 $(x_0,y_0,z_0)$ 切平面：

$$\{\begin{array}{l}{F}_1^{\prime }(x-x_0)+F_2^{\prime }(y-y_0)+F_3^{\prime }(z-z_0)=0\\ G_1^{\prime }(x-x_0)+G_2^{\prime }(y-y_0)+G_3^{\prime }(z-z_0)=0\end{array}$$

交线的切线应当同时在两个切平面上

这里只关心交线的切线方向，常数项可以忽略，所以可以直接取法向量叉乘：

$$(F_1^{\prime },F_2^{\prime },F_3^{\prime })\times (G_1^{\prime },G_2^{\prime },G_3^{\prime })=(..,..,F_1^{\prime }{G}_2^{\prime }-F_2^{\prime }{G}_1^{\prime })$$

因为找极值点，所以只需要知道切向量第三项为 $0$ 的店，即：$F_1^{\prime }{G}_2^{\prime }=F_2^{\prime }{G}_1^{\prime }$

于是可以找到所有极值点

更多约束

不失一般性，取如下 $z$ 值和约束

$$\{\begin{array}{l}z=z(x_1,x_2,x_3)\\ f(x_1,x_2,x_3)=0\\ g(x_1,x_2,x_3)=0\end{array}$$

取拉格朗日乘数 $L(x_1,x_2,x_3,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=z-{\lambda }_{1}f-{\lambda }_{2}g$

应有条件

$$\{\begin{array}{l}{z}_1^{\prime }-{\lambda }_1{f}_1^{\prime }-{\lambda }_2{g}_1^{\prime }=0\\ z_2^{\prime }-{\lambda }_1{f}_2^{\prime }-{\lambda }_2{g}_2^{\prime }=0\\ z_3^{\prime }-{\lambda }_1{f}_3^{\prime }-{\lambda }_2{g}_3^{\prime }=0\\ f=0\\ g=0\end{array}$$

三个偏导写为矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}{z}_1^{\prime }\\ z_2^{\prime }\\ z_3^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_1^{\prime }& g_1^{\prime }\\ f_2^{\prime }& g_2^{\prime }\\ f_3^{\prime }& g_3^{\prime }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right]$$

形式上看，此处表示 $z$ 的梯度能被 $f,g$ 的梯度线性表示

$$\nabla z={\lambda }_1\nabla f+{\lambda }_2\nabla g$$

该约束的来源

梯度向量 $\nabla f$ 方向上 $f$ 增长最快，而其垂直的向量空间上 $f$ 不变（亦即满足 $f=0,g=0$)

因此，图像上点 $P$ 允许移动的方向是 $\nabla f,\nabla g$ 的切空间的交集

因而是 $\nabla f,\nabla g$ 并集的切空间，记为 $A$

要筛选出 $z$ 的极值点，就是筛选出 $\nabla z=0$ 的点

但此时 $z$ 并非自由，而是有约束，每一点 $P$ 上只允许往 $v$ 方向运动

因此只需要筛出 $\nabla z\cdot v=0$ 的点

现在，我已知 $\nabla z$，已知 $v\in A$

如果 $z$ 在 $A$ 上有一点沿向量 $v$ 满足 $\nabla z\cdot v=0$ 恒成立，则 $\nabla z$ 在 $\nabla f,\nabla g$ 的并集之中，亦即

$$\nabla z={\lambda }_1\nabla f+{\lambda }_2\nabla g$$

于是得到拉格朗日乘数法的新约束

一个例题

求 $|z|$ 在 $$\{\begin{array}{l}{x}^2+9y^2-z^2=0\\ x+3y+2z=5\end{array}$$

约束下的最大值和最小值

此题有两个优化

• $|z|$ 与 $z^2$ 的最值在同一点取到，可以去掉绝对值
• 不必将 $z$ 看作 $z(x,y)$ 的函数，而是取 $f(x,y,z)=z^2$ 视为三元函数

两个约束条件写为

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

于是可以取拉格朗日函数：

$$L(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=f-{\lambda }_{1}F-{\lambda }_{2}G$$

问

拉格朗日函数 $L=f-\sum {\lambda }_{i}g$ 能不能写作 $L=f+\sum {\lambda }_{i}g$

可以，因为不改变切空间